1. 引言

前序博客有：

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• ECDSA VS Schnorr signature VS BLS signature 第3节“BLS签名”

私钥 p k pk pk，对应的公钥为 P = p k × G P=pk\times G P=pk×G。待签名消息 m m m。
BLS signature的签名流程为：

• 1）通过 H ( m ) H(m) H(m)将消息 m m m映射为point on the curve， G m = H ( m ) G_m=H(m) Gm​=H(m)。
• 2）将私钥与 H ( m ) H(m) H(m)相乘， S = p k × H ( m ) S=pk\times H(m) S=pk×H(m)， S S S即为相应的签名。

BLS signature is just one single point on the curve that takes only 33bytes in compressed serialization format。
具体如下图示意：

BLS的验签流程为：

• 1）通过 H ( m ) H(m) H(m)将消息 m m m映射为point on the curve， G m = H ( m ) G_m=H(m) Gm​=H(m)。
• 2）验证 e ( P , H ( m ) ) = e ( G , S ) e(P,H(m))=e(G,S) e(P,H(m))=e(G,S)成立即可。

具有pairing属性，以上验签等式恒成立：
e ( P , H ( m ) ) = e ( p k × G , H ( m ) ) = e ( G , p k × H ( m ) ) = e ( G , S ) e(P,H(m))=e(pk\times G,H(m))=e(G,pk\times H(m))=e(G,S) e(P,H(m))=e(pk×G,H(m))=e(G,pk×H(m))=e(G,S)
具体如下图示意：

整个BLS signature非常简洁优美。

整个BLS签名算法中，有两个关键点是：

• 1）Hashing to the curve：
  ECDSA和Schnorr 签名过程中，需要使用hash函数将消息 m m m映射为a number。
  而BLS signature中需要调整hash算法，将消息 m m m hashes directly to the elliptic curve。
  最简单的方式是，仍然将消息 m m m通过hash函数映射为a number，然后将该number作为elliptic curve 上point的x坐标。
  Elliptic curves通常有 2 256 2^{256} 2256个points，采用SHA-256算法可以生成256-bit result。
  但是对于 y 2 = x 3 + a x + b y^2=x^3+ax+b y2=x3+ax+b形式的eclliptic curve，相同的x坐标，存在 ( x , y ) 和 ( x , − y ) (x,y)和(x,-y) (x,y)和(x,−y)两个point均在curve上的情况。这就意味着借助SHA-256有约50%的概率能找到two points for some x x x，有50%的概率找到point on the curve。
  
  为了保证对任意的消息 m m m均能hashing to the curve，可以在消息 m m m后面追加数字，依次尝试直到能找到相应的curve point。如若 h a s h ( m ∣ ∣ 0 ) hash(m||0) hash(m∣∣0)不能find a point，则依次试 h a s h ( m ∣ ∣ 1 ) , h a s h ( m ∣ ∣ 2 ) hash(m||1),hash(m||2) hash(m∣∣1),hash(m∣∣2)，直到找到point on the curve。【对于 ( x , y ) 和 ( x , − y ) (x,y)和(x,-y) (x,y)和(x,−y)两个point，实际选择y坐标值更小的那个point。】（如上图所示）

• 2）curve pairing
  BLS signautre要求能够将（相同或者不同）curve上的P和Q两个点映射a number：
  e ( P , Q ) ↦ n e(P,Q)\mapsto n e(P,Q)↦n
  同时，应满足如下属性：（使得secret number x x x unreveal。）
  e ( x × P , Q ) = e ( P , x × Q ) e(x\times P,Q)=e(P,x\times Q) e(x×P,Q)=e(P,x×Q)
  更通用的表达为应具有如下属性：
  e ( a × P , b × Q ) = e ( P , a b × Q ) = e ( a b × P , Q ) = e ( P , Q ) ( a b ) e(a\times P,b\times Q)=e(P,ab\times Q)=e(ab\times P,Q)=e(P,Q)^{(ab)} e(a×P,b×Q)=e(P,ab×Q)=e(ab×P,Q)=e(P,Q)(ab)

Hashing to curve函数 H H H需为：

• indifferentiable from a random oracle
• 且为constant-time的

令 F q \mathbb{F}_q Fq​为某有限域， E b : y 2 = x 3 + b E_b: y^2=x^3+b Eb​:y2=x3+b为某ordinary椭圆曲线（即，non-supersingular椭圆曲线），其 j j j-invariant为0，同时满足 b ∈ F q \sqrt{b}\in\mathbb{F}_q b ​∈Fq​以及 q ≢ 1 ( m o d    27 ) q\not\equiv 1(\mod 27) q​≡1(mod27)。
当前最快的constant-time indifferentiable hashing to E b ( F q ) E_b(\mathbb{F}_q) Eb​(Fq​)算法需要：

• 基于 F q \mathbb{F}_q Fq​的2次exponentiation运算【以BLS12-377为例，其基于highly 2-adic有限域，相应的indifferentiable Wahby-Boneh hash函数需要应用2次 slow Tonelli-Shanks algorithm算法来提取基域的2个平方根。】

在Dmitrii Koshelev 2021年论文 Indifferentiable hashing to ordinary elliptic F q \mathbb{F}_q Fq​-curves of j = 0 j = 0 j=0 with the cost of one exponentiation in F q \mathbb{F}_q Fq​ 论文中，所实现的constant-time indifferentiable hashing to E b ( F q ) E_b(\mathbb{F}_q) Eb​(Fq​)算法：

• 仅需要1次exponentiation运算。【仍以BLS12-377为例，仅需要提取1次立方根，可 以有限域内的1次exponentiation运算来表示。】

开源实现见：

• https://github.com/dishport/Indifferentiable-hashing-to-ordinary-elliptic-curves-of-j-0-with-the-cost-of-one-exponentiation（Sage脚本）
• https://github.com/zhenfeizhang/indifferentiable-hashing（Rust，但非constant-time实现）

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文章题目：Hashingtoellipticcurve算法改进-创新互联
URL链接：http://www.bluegullmedia.com/article/ceehoe.html